6.1 Espaço vetorial
Um espaço vetorial contém um conjunto de escalares e um conjunto de vetores. Usaremos letras minúsculas \((a, b, \dots)\) para denotar escalares, e letras em negrito \((\mathbf{u}, \mathbf{v}, \dots)\) para denotar vetores.
Um escalar é um número real ou complexo que representa uma quantidade ou medida.
Um vetor é um ente matemático abstrato de um conjunto \(V\) fechado para as seguintes operações:
Adição de vetor com vetor:
\[ \mathbf{u}+\mathbf{v}. \]
Essa operação é comutativa e associativa:
\[ \begin{align} \mathbf{u}+\mathbf{v} &= \mathbf{v}+\mathbf{u},\\ \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}) &= (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}. \end{align} \]
Podemos definir a subtração de dois vetores através da adição:
\[ \begin{align} \mathbf{u}-\mathbf{v} &= \mathbf{u}+(-1)\mathbf{v}. \end{align} \]
Multiplicação de escalar com vetor:
\[ a \mathbf{v}. \]
Essa operação é distributiva e associativa:
\[ \begin{align} a (\mathbf{u} + \mathbf{v}) &= a \mathbf{u} + a \mathbf{v},\\ (a + b) \mathbf{u} &= a \mathbf{u} + b \mathbf{u},\\ a(b \mathbf{u}) &= (a b) \mathbf{u},\\ ab\mathbf{u} &= ba\mathbf{u}. \end{align} \]
No espaço vetorial há um vetor nulo denotado por \(\mathbf{0}\). O vetor nulo é o elemento neutro na adição de vetor com vetor:
\[ \begin{align} \mathbf{v}+\mathbf{0} &= \mathbf{v}, \quad \forall \mathbf{v} \in V. \end{align} \]
Todo vetor possui um elemento inverso aditivo \((-1)\mathbf{v}\), denotado por \(-\mathbf{v}\), de modo que:
\[\mathbf{v}+(-\mathbf{v}) = \mathbf{0}.\]
Além disso,
\[0\mathbf{v} = \mathbf{0}.\]
Combinação e independência linear
Uma combinação linear de \(n\) vetores \(\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\}\) é um vetor na forma
\[\mathbf{v}=a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n\mathbf{v}_n.\]
Em uma combinação linear, os vetores \(\{\mathbf{v}_i\}\) são linearmente independentes se
\[a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0}\]
se e somente se
\[a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0.\]
Dimensão e base
A dimensão de um espaço vetorial corresponde ao maior número de vetores linearmente independentes encontrados naquele espaço.
Em um espaço vetorial de dimensão \(n\), qualquer conjunto de \(n\) vetores linearmente independentes forma uma base.
Seja \(\{\mathbf{v}_i\}\) uma base em \(V\). Então, qualquer vetor \(\mathbf{v} \in V\) pode ser expresso unicamente como uma combinação linear
\[\mathbf{v}=a_1\mathbf{v_1} + a_2\mathbf{v_2} + \dots + a_n\mathbf{v_n}.\] Os escalares \(\{a_i\}\) formam uma representação de \(\mathbf{v}\) com relação à base \(\{\mathbf{v}_i\}\).
Vetores geométricos
Até agora, definimos vetores apenas como entidades abstratas do espaço vetorial. Em computação gráfica, estamos geralmente interessados em vetores geométricos, isto é, vetores que representam uma direção e uma magnitude (comprimento) e que podem ser representados visualmente como segmentos direcionados em um espaço coordenado de números reais como no \(\mathbb{R}^2\) (figura 6.1).
Figura 6.1: Vetores como segmentos direcionados.
Nessa representação em que vetor é sinônimo de segmento direcionado, a adição de vetor com vetor (\(\mathbf{u}+\mathbf{v}\)) pode ser feita graficamente pela chamada “regra do polígono” como mostra a figura 6.2: desenhamos \(\mathbf{v}\) partindo do fim de \(\mathbf{u}\), e obtemos a soma traçando o segmento que parte do início de \(\mathbf{u}\) e vai até o fim de \(\mathbf{v}\).
Figura 6.2: Adição entre vetores geométricos.
A multiplicação de escalar com vetor também tem uma interpretação geométrica. O comprimento de \(a\mathbf{u}\) (\(a \neq 0\), \(\mathbf{u}\neq\mathbf{0}\)) é igual ao comprimento de \(\mathbf{u}\) multiplicado pelo módulo de \(a\). Assim, se \(|a| \in (0, 1)\), o vetor diminui de comprimento. Se \(|a|=1\), o comprimento se mantém. Se \(|a|>1\), o comprimento aumenta. Em todos os casos, se o sinal do escalar é negativo, o vetor muda de sentido. A figura 6.3 ilustra a multiplicação de escalar com vetor para um exemplo com \(a>1\) e \(a=-1\).
Figura 6.3: Multiplicação de escalar com vetor geométrico.
Frequentemente, precisaremos usar vetores para representar deslocamentos de um ponto a outro do espaço. Entretanto, no espaço vetorial não existe o conceito de “ponto no espaço.” Sem uma noção de localização, os vetores agrupados no lado esquerdo da figura 6.4 são indistinguíveis dos vetores exibidos no lado direito. Os vetores são os mesmos, pois são caracterizados unicamente por sua direção e comprimento.
Figura 6.4: Vetores idênticos no espaço vetorial.
Para representarmos um vetor como um deslocamento a partir de um ponto no espaço, precisamos de um espaço afim. Além disso, para podermos usar o conceito de comprimento ou distância, precisamos de um espaço afim que use uma estrutura métrica, como o espaço euclidiano.