7.2 Coordenadas homogêneas

A expressão

$v^{'} = A v,$

onde

$v^{'} = [\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix}], A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}], v = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}],$

representa uma transformação linear do vetor $v \in R^{3}$ .

Podemos considerar que $v$ também representa um ponto no frame padrão do espaço euclidiano tridimensional: é o ponto resultante do deslocamento da origem pelo vetor $v$ . Com isso podemos aplicar transformações lineares sobre pontos. Entretanto, essa notação não permite diferenciar o que é a representação de um ponto e o que é a representação de um vetor. Além disso, a matriz de transformação linear no $R^{3}$ não é capaz de representar transformações que envolvem deslocamento de pontos. A simples operação

$p^{'} = p + t,$

onde $p$ é um ponto e $t$ é um vetor, não pode ser representada como uma matriz de transformação linear na forma

$p^{'} = A p [\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] .$

Felizmente, podemos contornar essas dificuldades se representarmos pontos e vetores do $R^{3}$ em um sistema de coordenadas homogêneas no espaço $R^{4}$ .

Como vimos na definição de combinação afim (seção 6.2), podemos considerar que é válido multiplicar um escalar $a$ por um ponto $P$ , de modo que

$0 P = 0, 1 P = P .$

Um ponto $P = (x, y, z)$ no frame ${P_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3}}$ é definido unicamente como

$P = x v_{1} + y v_{2} + z v_{3} + P_{0} .$

Em coordenadas homogêneas, $P$ pode ser representado pela matriz coluna de coeficientes

$\begin{aligned} p & = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}], \end{aligned}$

uma vez que

$\begin{aligned} P & = x v_{1} + y v_{2} + z v_{3} + P_{0} \\ = [\begin{matrix} x & y & z & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ P_{0} \end{matrix}] . \end{aligned}$

De forma semelhante, um vetor $v$ no mesmo frame,

$v = x v_{1} + y v_{2} + z v_{3},$

pode ser definido em coordenadas homogêneas pela matriz coluna de coeficientes

$\begin{aligned} v & = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 0 \end{matrix}], \end{aligned}$

uma vez que

$\begin{aligned} v & = x v_{1} + y v_{2} + z v_{3} \\ = [\begin{matrix} x & y & z & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ P_{0} \end{matrix}] . \end{aligned}$

Na expressão

$p^{'} = A p,$

onde

$p^{'} = [\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \\ w^{'} \end{matrix}], A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}], p = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}],$

a matriz $A$ representa uma transformação linear no $R^{4}$ e uma transformação afim no $R^{3}$ .

A transformação afim preserva a operação de combinação afim, isto é,

$T (a P + (1 - a) Q) = a T (P) + (1 - a) T (Q)$

para quaisquer pontos $P$ e $Q$ , e qualquer escalar $a \in [0, 1]$ .

Assim como a transformação linear transforma espaços vetoriais, a transformação afim de um ponto $p$ equivale à transformação do frame de $p$ em outro frame (frame de $p^{'}$ ).

Com a matriz de transformação afim, conseguimos representar tanto as transformações de espaços vetoriais quanto as transformações que envolvem deslocamento de pontos.

Como mostra a figura 7.1, a parte $3 \times 3$ superior de $A$ representa uma ou mais transformações lineares em $R^{3}$ (como a rotação, escala e reflexão, abordadas na seção 7.4). A parte $3 \times 1$ da última coluna ( ${[\begin{matrix} a_{14} & a_{24} & a_{34} \end{matrix}]}^{T}$ ) representa uma translação (deslocamento de ponto).

Figura 7.1: Parte de transformação linear e translação em uma matriz na notação homogênea.

Agora podemos representar o deslocamento $p^{'} = p + t$ através de uma operação matricial:

$p^{'} = A p [\begin{matrix} x + t_{x} \\ y + t_{y} \\ z + t z \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & 0 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 & t_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}] .$

Observe como, de fato, os fatores de deslocamento estão na parte $3 \times 1$ da última coluna.

Em $p = {[\begin{matrix} x & y & z & w \end{matrix}]}^{T}$ , a coordenada $w$ é chamada de coordenada homogênea.

A escolha de fazer $w = 1$ para pontos e $w = 0$ para vetores permite diferenciar, sem ambiguidades, as operações de adição de vetor com vetor, diferença entre pontos, e adição de ponto com vetor:

Na adição de vetor com vetor, o resultado é um vetor (coordenada $w = 0$ ):

$\begin{aligned} u + v & = w, \\ [\begin{matrix} u_{x} \\ u_{y} \\ u_{z} \\ 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \\ 0 \end{matrix}] & = [\begin{matrix} u_{x} + v_{x} \\ u_{y} + v_{y} \\ u_{z} + v_{z} \\ 0 \end{matrix}] . \end{aligned}$
Na diferença entre pontos, o resultado é um vetor (coordenada $w = 0$ ):

$\begin{aligned} p - q & = u, \\ [\begin{matrix} p_{x} \\ p_{y} \\ p_{z} \\ 1 \end{matrix}] - [\begin{matrix} q_{x} \\ q_{y} \\ q_{z} \\ 1 \end{matrix}] & = [\begin{matrix} p_{x} - q_{x} \\ p_{y} - q_{y} \\ p_{z} - q_{z} \\ 0 \end{matrix}] . \end{aligned}$
Na adição de ponto com vetor, o resultado é um ponto (coordenada $w = 1$ ):

$\begin{aligned} p + u & = q, \\ [\begin{matrix} p_{x} \\ p_{y} \\ p_{z} \\ 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} u_{x} \\ u_{y} \\ u_{z} \\ 0 \end{matrix}] & = [\begin{matrix} p_{x} + u_{x} \\ p_{y} + u_{y} \\ p_{z} + u_{z} \\ 1 \end{matrix}] . \end{aligned}$

Coordenadas homogêneas $(x, y, z, w)$ podem ser convertidas de volta para coordenadas cartesianas $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ do espaço euclidiano 3D através da divisão de $x$ , $y$ , $z$ por $w$ :

$(x^{'}, y^{'}, z^{'}) = (\frac{x}{w}, \frac{y}{w}, \frac{z}{w}) .$

Assim, um ponto $p$ em coordenadas homogêneas,

$p = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}],$

corresponde, em coordenadas cartesianas, ao ponto

$p^{'} = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} x / 1 \\ y / 1 \\ z / 1 \end{matrix}] .$

Em transformações afins expressas de forma homogênea, o valor de $w$ será sempre $0$ ou $1$ . Entretanto, em matrizes de transformação projetiva, $w$ poderá assumir outros valores.

Transformações projetivas serão abordadas no próximo capítulo. Entretanto, perceba que a divisão por $w$ faz com que um ponto $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ do espaço euclidiano 3D corresponda a infinitos pontos no espaço de dimensão extra (4D). Em particular, os pontos $(s x, s y, s z, s w)$ , onde $s \neq 0$ e $w \neq 0$ , correspondem ao mesmo ponto $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ do espaço euclidiano:

$(x^{'}, y^{'}, z^{'}) = (\frac{s x}{s w}, \frac{s y}{s w}, \frac{s z}{s w}) = (\frac{x}{w}, \frac{y}{w}, \frac{z}{w}) .$

Em outras palavras, os pontos $(s x, s y, s z, s w)$ do $R^{4}$ são projetados em um mesmo ponto $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ do $R^{3}$ . Esse comportamento será útil para simular o efeito de diminuição do tamanho de objetos em uma projeção perspectiva. Em particular, note que:

Se um objeto é formado por pontos com coordenada homogênea $w > 1$ , o objeto diminui de tamanho após a conversão para o espaço euclidiano;
Se um objeto é formado por pontos com coordenadas homogênea $0 \leq w < 1$ , o objeto aumenta de tamanho após a conversão para o espaço euclidiano.