8.2 Projeção perspectiva

Na projeção perspectiva, quanto mais distantes os objetos estiverem do centro de projeção, menor ficarão quando projetados. Isso produz o efeito de diminuição de tamanho de objetos distantes, que é o que percebemos no mundo real. A figura 8.8 mostra esse efeito em uma fotografia. Note como os elementos da cena parecem convergir em um ponto distante. Esse ponto de convergência é chamado de ponto de fuga.

Figura 8.8: Diminuição de tamanho na projeção perspectiva (fonte).

O número de pontos de fuga é determinado pela orientação da câmera em relação a um objeto cuboide referencial no espaço do mundo (figura 8.9).

Figura 8.9: Pontos de fuga na projeção perspectiva.

Se o cubo tiver arestas paralelas aos eixos $x$ e $y$ da câmera, a projeção terá 1 ponto de fuga. Se o cubo tiver arestas paralelas apenas em relação a um dos eixos ($x$ ou $y$), a projeção terá 2 pontos de fuga. Se o cubo não tiver arestas paralelas aos eixos $x$ e $y$, a projeção terá 3 pontos de fuga.

Para produzir uma matriz de projeção perspectiva, adotaremos a mesma estratégia de normalizar o volume de visão, isto é, criaremos uma transformação que converte um volume de visão no espaço da câmera para o volume de visão de tamanho $2\times 2\times 2$ no espaço NDC. Entretanto, dessa vez o volume de visão terá o formato de uma pirâmide truncada (chamada de view frustum), como mostra a figura 8.10.

Figura 8.10: Volume de visão genérico para projeção perspectiva.

O volume de visão possui um formato piramidal pois todos os pontos do volume estão sobre projetores que convergem em direção à origem do espaço da câmera, que é o centro de projeção. O formato da pirâmide é definido unicamente pelos parâmetros $l$ (left), $r$ (right), $b$ (bottom), $t$ (top), $n$ (near) e $f$ (far).

Suponha a cena de um arranjo de 8 cubos conforme mostra a figura 8.11.

Figura 8.11: Cena dentro do volume de visão de projeção perspectiva.

Após a normalização do volume de visão, todo o seu conteúdo é distorcido proporcionalmente como mostra a figura 8.12. Observe como os objetos mais distantes ficam menores em relação aos objetos mais próximos, e como as arestas laterais dos cubos não são mais paralelas como na cena original. De fato, elas agora convergem para um ponto de fuga.

Figura 8.12: Distorção da cena após a normalização do volume de visão.

Agora que a geometria da cena está distorcida, podemos seguir com o processamento do pipeline de gráfico. Após a rasterização e o mapeamento ortogonal para o espaço da janela, o resultado será uma imagem que tem a aparência de uma projeção perspectiva (figura 8.13).

Figura 8.13: Objetos em NDC e conteúdo correspondente no espaço da janela.

Matriz de projeção

Para construir a matriz a projeção perspectiva, vamos observar primeiro como um ponto $(x_e,y_e,z_e)$ no espaço da câmera (o $e$ subscrito vem de eye space) é projetado para um ponto $(x_p,y_p,z_p)$ no plano de recorte próximo (isto é, o plano com $z_e=-n$).

A figura 8.14 mostra a relação entre esses pontos em uma visão de cima do volume de visão.

Figura 8.14: Volume de visão visto de cima.

Através da razão entre triângulos semelhantes, temos

$$\frac{x_p}{-n}=\frac{x_e}{z_e}.$$ Logo,

$$x_p=\frac{-n{x}_e}{z_e}=\frac{n{x}_e}{-z_e}.$$

O mesmo raciocínio pode ser aplicado para determinar $y_p$. A figura 8.15 mostra uma visão lateral do volume de visão.

Figura 8.15: Volume de visão visto de lado.

Através da razão entre triângulos semelhantes,

$$\frac{y_p}{-n}=\frac{y_e}{z_e}.$$ Logo,

$$y_p=\frac{-n{y}_e}{z_e}=\frac{n{y}_e}{-z_e}.$$

O importante a ser notado aqui é que tanto $x_p$ quanto $y_p$ são divididos por $-z_e$. Então, todo ponto no espaço da câmera deverá ser dividido pela sua coordenada $z$ negativa.

Podemos incorporar a divisão por $-z_e$ na matriz de projeção. Lembre-se que, no vertex shader, representamos pontos e vetores em coordenadas homogêneas. A matriz de projeção converte coordenadas homogêneas do espaço da câmera ($x_e$, $y_e$, $z_e$, $w_e$) em coordenadas homogêneas do espaço de recorte ($x_c$, $y_c$, $z_c$, $w_c$), que são as coordenadas de gl_Position:

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ y_c\\ z_c\\ w_c\end{array}\right]=M_{\text{proj}}\left[\begin{array}{c}{x}_e\\ y_e\\ z_e\\ w_e\end{array}\right].\end{array}$$

Após o recorte, as coordenadas do espaço de recorte são divididas por $w_c$ para produzir coordenadas ($x_n$, $y_n$, $z_n$) no espaço NDC:

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_c/w_c\\ y_c/w_c\\ z_c/w_c\end{array}\right].\end{array}$$

Aproveitando essa divisão por $w$, podemos obter a divisão por $-z_e$ através da mudança da última linha da matriz de projeção, como a seguir:

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ y_c\\ z_c\\ w_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_e\\ y_e\\ z_e\\ w_e\end{array}\right].\end{array}$$

Observe que $w_c=-z_e$. Portanto, as coordenadas serão divididas por $-z_e$ como desejamos.

Da mesma forma como fizemos para normalizar o volume de visão da projeção ortográfica, sabemos que precisamos mapear os intervalos:

• Em $x$: $[l,r]$, no espaço da câmera, para $[-1,1]$ em NDC;
• Em $y$: $[b,t]$, no espaço da câmera, para $[-1,1]$ em NDC;
• Em $z$: $[-n,-f]$, no espaço da câmera, para $[-1,1]$ em NDC.

Os fatores de translação e escala em $x$ e em $y$ são os mesmos da projeção ortográfica. Assim, temos a seguinte relação entre coordenadas em NDC $(x_{\text{ndc}},y_{\text{ndc}})$ e coordenadas projetadas $(x_p,y_p)$:

$$x_{\text{ndc}}=a_x{x}_p+b_x,y_{\text{ndc}}=a_y{y}_p+b_y,$$

onde $a$ e $b$ são, respectivamente, os fatores de escala e translação:

$$a_x=\frac{2}{r-l},b_x=-\frac{r+l}{r-l},a_y=\frac{2}{t-b},b_y=-\frac{t+b}{t-b}.$$

Se substituirmos

$$x_p=\frac{n\cdot x_e}{-z_e}$$

na expressão

$$x_{\text{ndc}}=a_x{x}_p+b_x,$$

obtemos a relação final entre a coordenada $x_e$ do espaço da câmera e a coordenada $x_{\text{ndc}}$ no espaço NDC (o mesmo raciocínio pode ser aplicado para a transformação de $y_e$ em $y_{\text{ndc}}$):

$$\begin{array}{cc}{x}_{\text{ndc}}& =a_x{x}_p+b_x\\ & =\frac{2x_p}{r-l}-\frac{r+l}{r-l}\\ & =\frac{2\cdot \frac{n\cdot x_e}{-z_e}}{r-l}-\frac{r+l}{r-l}\\ & =\frac{2n\cdot x_e}{-z_e(r-l)}-\frac{r+l}{r-l}\\ & =\frac{\frac{2n}{r-l}\cdot x_e}{-z_e}-\frac{r+l}{r-l}\\ & =\frac{\frac{2n}{r-l}\cdot x_e}{-z_e}+\frac{\frac{r+l}{r-l}\cdot z_e}{-z_e}\\ & =\frac{x_c}{-z_e},\end{array}$$

onde

$$\begin{array}{cc}{x}_c& =n\cdot a_x\cdot x_e-b_x\cdot z_e\\ & =\frac{2n}{r-l}\cdot x_e+\frac{r+l}{r-l}\cdot z_e.\end{array}$$ De forma semelhante,

$$y_{\text{ndc}}=\frac{y_c}{-z_e},$$

onde

$$\begin{array}{cc}{y}_c& =n\cdot a_y\cdot y_e-b_y\cdot z_e\\ & =\frac{2n}{t-b}\cdot y_e+\frac{t+b}{t-b}\cdot z_e.\end{array}$$ Atualizando os elementos da matriz de projeção,

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ y_c\\ z_c\\ w_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{2n}{r-l}& 0& \frac{r+l}{r-l}& 0\\ 0& \frac{2n}{t-b}& \frac{t+b}{t-b}& 0\\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_e\\ y_e\\ z_e\\ w_e\end{array}\right].\end{array}$$

Ainda precisamos determinar os elementos da terceira linha da matriz. Esses elementos correspondem à transformação de $z_e$ em $z_c$.

O valor de $z_c$ não depende de $x_e$ e $y_e$. Assim, os valores nas duas primeiras colunas da terceira linha devem ser zero. Só precisamos determinar os elementos da terceira e quarta colunas, que chamaremos de $\alpha$ e $\beta$:

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ y_c\\ z_c\\ w_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{2n}{r-l}& 0& \frac{r+l}{r-l}& 0\\ 0& \frac{2n}{t-b}& \frac{t+b}{t-b}& 0\\ 0& 0& \alpha & \beta \\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_e\\ y_e\\ z_e\\ w_e\end{array}\right].\end{array}$$ Logo,

$$z_c=\alpha z_e+\beta w_e.$$ Após a divisão pelo $w$,

$$z_n=\frac{\alpha z_e+\beta w_e}{-z_e}.$$

Sabendo que o intervalo $[-n,-f]$ deve ser mapeado para o intervalo $[-1,1]$, podemos formar um sistema de equações lineares:

$$\begin{array}{c}\frac{-\alpha n+\beta }{n}=-1\\ \frac{-\alpha f+\beta }{f}=1\end{array}\to \begin{array}{c}-\alpha n+\beta =-n\\ -\alpha f+\beta =f\end{array}$$

Logo,

$$\begin{array}{c}\alpha =-\frac{f+n}{f-n},\\ \beta =-\frac{2fn}{f-n}.\end{array}$$

Com isso obtemos todos os elementos da matriz de projeção perspectiva:

$$\begin{array}{c}{M}_{\text{persp}}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{2n}{r-l}& 0& \frac{r+l}{r-l}& 0\\ 0& \frac{2n}{t-b}& \frac{t+b}{t-b}& 0\\ 0& 0& -\frac{f+n}{f-n}& -\frac{2fn}{f-n}\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right].\end{array}$$

Na biblioteca GLM, tal matriz pode ser criada com a função glm::frustum definida em glm/gtc/matrix_transform.hpp:

glm::mat4 glm::frustum(float left, float right, float bottom, float top, float zNear, float zFar);
glm::dmat4 glm::frustum(double left, double right, double bottom, double top, double zNear, double zFar);

onde left, right, bottom, top, zNear e zFar correspondem respectivamente aos valores $l$, $r$, $b$, $t$, $n$ e $f$.

Se o volume de visão for simétrico, então

$$r=-l,t=-b.$$

Assim como na projeção ortográfica com volume de visão simétrico, os termos da matriz podem ser simplificados como segue:

$$\begin{array}{cc}r+l& =0,\\ r-l& =2r,\\ t+b& =0,\\ t-b& =2t,\end{array}$$

e a matriz é simplificada para

$$\begin{array}{c}{M}_{\text{persp}}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{n}{r}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{n}{t}& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{f+n}{f-n}& \frac{-2fn}{f-n}\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right].\end{array}$$ Uma forma mais intuitiva de criar um volume de visão simétrico para a projeção perspectiva é através dos seguintes parâmetros:

• Ângulo $\theta$ de abertura vertical do campo de visão (field of view ou FOV).
• Razão de aspecto $w/h$ (largura pela altura) do plano de imagem.
• Distâncias $n$ e $f$ dos planos de recorte próximo (near) e distante (far).

Usando relações trigonométricas, podemos determinar o valor de $t$ (top em glm::frustum) (figura 8.16):

$$\begin{array}{cc}& \frac{t}{n}=\tan \left(\frac{\theta }{2}\right),\\ & t=n\tan \left(\frac{\theta }{2}\right).\end{array}$$

Por simetria,

$$\begin{array}{cc}b& =-t.\end{array}$$

Figura 8.16: Ângulo de abertura do campo de visão vertical.

Para calcular $r$ (right em glm::frustum), multiplicamos $t$ pela razão de aspecto.

$$r=t\frac{w}{h}.$$

Assim, em um viewport de tamanho $1920\times 1080$, a razão de aspecto será $16:9$ (widescreen). Se $t=1080/2=540$, então $r=540\times \frac{16}{9}=1920/2=960$.

Por simetria,

$$\begin{array}{cc}l& =-r.\end{array}$$

Na biblioteca GLM, tal matriz pode ser criada com a função glm::perspective, definida em glm/gtc/matrix_transform.hpp:

glm::mat4 perspective(float fovy, float aspect, float zNear, float zFar);
glm::dmat4 perspective(double fovy, double aspect, double zNear, double zFar);

onde fovy, aspect, zNear e zFar correspondem respectivamente aos valores $\theta$ (em radianos), $w/h$, $n$ e $f$.