9.1 Equação de renderização

Para produzir a imagem de uma cena iluminada por fontes de luz virtuais, precisamos determinar a quantidade de luz que incide sobre cada pixel do plano de imagem. Isso depende da forma como a luz é refletida entre as diferentes superfícies da cena até finalmente atingir o pixel no plano de imagem. Essa interação da luz pode ser descrita matematicamente através de uma equação de renderização (Kajiya 1986).

A equação de renderização descreve a intensidade luminosa total que sai de um ponto $x$ de uma superfície em uma dada direção ${\omega }_o=({\theta }_o,{\varphi }_o)$, levando em conta a luz que incide sobre $x$ vindo de todas as direções ${\omega }_i=({\theta }_i,{\varphi }_i)$ de um hemisfério $\Omega$ de possíveis direções.

A figura 9.3 ilustra a geometria da equação de renderização, supondo que ${\omega }_o$ é a direção até a câmera, e ${\omega }_i$ é a direção até uma fonte de luz.

Tanto ${\omega }_i$ quanto ${\omega }_o$ estão em coordenadas polares em relação a um espaço local no qual o vetor normal $n$ em $x$ corresponde ao eixo $z$. Assim, ${\varphi }_i$ e ${\varphi }_o$ são ângulos em torno do eixo $z$, e ${\theta }_i$ e ${\theta }_o$ são ângulos em torno do eixo $x$ do plano que passa pelo ponto $x$.

Figura 9.3: Geometria da equação de renderização.

A equação de renderização pode ser escrita como

$$I(x,{\omega }_{\text{o}})=I_{\text{e}}(x,{\omega }_{\text{o}})+{\int }_{\Omega }{f}_{\text{r}}({\omega }_{\text{i}},{\omega }_{\text{o}})I(x,{\omega }_{\text{i}})\cos {\theta }_{i}d{\omega }_{\text{i}},$$

onde

• $I(x,{\omega }_{\text{o}})$ é a luz refletida de $x$ na direção ${\omega }_o$.

• $I_e(x,{\omega }_{\text{o}})$ é a luz emitida por $x$ na direção ${\omega }_o$. Esse fator so é maior que zero se $x$ for uma fonte de luz.

• $f_{\text{r}}({\omega }_{\text{i}},{\omega }_{\text{o}})$ é chamada de BRDF (bidirectional reflectance distribution function) ou função de distribuição de reflectância bidirecional, e corresponde à razão entre a luz refletida na direção ${\omega }_o$ e a luz incidente na direção ${\omega }_i$.

  Cada tipo de material possui sua própria BRDF. A BRDF pode ser modelada matematicamente ou adquirida de materiais do mundo físico através de instrumentos de radiometria.

  Para que os resultados sejam fisicamente plausíveis, a BRDF deve respeitar a lei de conservação de energia, isto é, o total de luz refletida e absorvida deve corresponder ao total de luz incidente.

• $I(x,{\omega }_{\text{i}})$ é a luz incidente em $x$, na direção ${\omega }_i$.

• $\cos {\theta }_i$ é o cosseno do ângulo formado pelo vetor normal em $x$ e o vetor na direção ${\omega }_i$, e está relacionado à lei do cosseno de Lambert que veremos mais a seguir.

• ${\int }_{\Omega }\dots d{\omega }_{\text{i}}$ é a integral sobre o hemisfério de direções sobre $x$.

A equação de renderização possui uma dependência espectral. Se quisermos gerar uma imagem colorida, precisamos resolver a equação três vezes, uma para cada componente de cor RGB.

Note que a equação de renderização tem natureza recursiva: a luz que incide sobre $x$ e vem de cada direção de $\Omega$ é, ela mesma, a luz refletida de algum outro lugar, que pode ser uma outra superfície ou fonte de luz.

Cada superfície reflete parte da luz incidente e absorve outra parte. A iluminação é, portanto, o resultado de um equilíbrio energético das interreflexões de luz entre os diferentes objetos de uma cena.

O objetivo dos métodos de iluminação global é resolver a equação de renderização. Isso pode ser feito, por exemplo, traçando os diferentes caminhos da luz (como nas técnicas de traçado de raios baseadas no método de Monte Carlo), ou resolvendo a equação usando métodos de elementos finitos (como na técnica de radiosidade).

A BRDF também pode assumir diferentes formas. Por exemplo:

• A SVBRDF (spatially varying BRDF) é uma BRDF $f_{\text{r}}(x,{\omega }_{\text{i}},{\omega }_{\text{o}})$ que varia de acordo com a posição $x$ sobre a superfície.
• A BSSRDF (bidirectional scattering-surface RDF) é uma BRDF $f_{\text{r}}(x_i,{\omega }_{\text{i}},x_o,{\omega }_{\text{o}})$ que considera os casos em que a luz que incide em um ponto $x_i$ da superfície pode ser espalhada no interior do objeto e sair em outra posição $x_o$. Dessa forma é possível simular o fenômeno de espalhamento de subsuperfície (figura 9.4).

Figura 9.4: Espalhamento de subsuperfície no modelo Suzanne, renderizado no Blender (fonte).

Solucionar a equação de renderização pode ser um processo muito custoso. Para conseguir simular em tempo real a iluminação de superfícies, precisamos adotar modelos de iluminação que aproximem e simplifiquem a equação.

Uma possível abordagem de simplificação da equação de renderização consiste em ignorar as interreflexões de luz entre os objetos da cena e supor que a luz incidente em um ponto de uma superfície é determinada unicamente pela luz que vem de uma ou mais fontes de luz. Em outras palavras, ignora-se a iluminação indireta e considera-se apenas a iluminação direta entre cada ponto da superfície e a(s) fonte(s) de luz. Modelos de iluminação que seguem essa suposição são chamados de modelos de iluminação local.

Descreveremos dois modelos de iluminação local frequentemente utilizados em renderização em tempo real:

• Modelo de reflexão de Phong (seção 9.2);
• Modelo de reflexão de Blinn–Phong (seção 9.3).

Esses modelos são simples o suficiente para serem implementados no vertex shader ou fragment shader, como veremos nas seções 9.5 e 9.6.

Referências

Kajiya, James T. 1986. “The Rendering Equation.” Computer Graphics 20 (4): 143–50. https://doi.org/10.1145/15886.15902.