7.1 Matrizes

Uma matriz é um arranjo de $n \times m$ escalares, onde $n$ é o número de linhas e $m$ é o número de colunas.

No exemplo a seguir, $A$ é uma matriz de tamanho $3 \times 4$ , isto é, é uma matriz de 3 linhas e 4 colunas:

$A = [\begin{matrix} 9 & 2 & 10 & 4 \\ 4 & - 2 & 0.25 & 1 \\ - 8.1 & 6 & 42 & 0 \end{matrix}] .$ Cada elemento de $A$ é denotado por $a_{i j}$ , onde $i$ é a linha, e $j$ é a coluna do elemento da matriz:

$A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \dots & a_{n m} \end{matrix}] .$

Matriz transposta

A transposta de uma matriz $A$ de tamanho $n \times m$ , denotada por $A^{T}$ , é uma matriz de tamanho $m \times n$ obtida trocando as linhas pelas colunas.

Por exemplo, se

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}],$

então

$A^{T} = [\begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix}] .$

A transposta da transposta é a matriz original, isto é,

${(A^{T})}^{T} = A .$

Matriz quadrada

Uma matriz quadrada é uma matriz na qual o número de linhas é igual ao número de colunas ( $n = m$ ).

Se $A$ é uma matriz quadrada de $n$ linhas e colunas, dizemos que $A$ é uma matriz de ordem $n$ .

Por exemplo,

$A = [\begin{matrix} 5 & 1 & 4 \\ 7 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 9 \end{matrix}]$

é uma matriz de ordem 3.

Matriz linha/coluna

Uma tupla de $n$ elementos pode ser representada por uma matriz $1 \times n$ (matriz linha) ou $n \times 1$ (matriz coluna).

Para matrizes linha e matrizes coluna, usaremos a notação de letra minúscula em negrito $(a, b, \dots)$ , como na notação de vetor.

Para trabalharmos com transformações matriciais, usaremos matrizes coluna para escrever a representação de vetores em uma base conhecida.

Por exemplo, a representação de um vetor no $R^{3}$ pode ser escrita pela matriz de componentes

$v = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}]$ sendo que

$v = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} .$

Matriz identidade

A matriz identidade, denotada por $I$ , é uma matriz quadrada na qual todos os elementos de uma das diagonais – elementos $a_{i j}$ em que $i = j$ , chamada de diagonal principal – são $1$ , e todos os outros elementos são $0$ .

$I = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix}] .$

Por exemplo, a matriz identidade de ordem 3 é a matriz

$I = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] .$ A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação entre matrizes:

$A I = I A = A .$

Operações

Há três operações básicas com matrizes:

Adição de matriz com matriz:

$A + B$

tem como resultado uma matriz que contém a soma elemento a elemento de $A$ e $B$ , sendo que $A$ e $B$ precisam ter o mesmo tamanho.

Por exemplo, se

$\begin{aligned} A & = [\begin{matrix} 1 & - 2 & 3 \\ - 4 & 5 & 6 \end{matrix}], \\ B & = [\begin{matrix} - 1 & - 3 & 6 \\ 0 & 5 & 2 \end{matrix}], \end{aligned}$

então

$A + B = [\begin{matrix} 0 & - 5 & 9 \\ - 4 & 10 & 8 \end{matrix}] .$

Essa operação é comutativa e associativa:

$\begin{aligned} A + B & = B + A, \\ A + (B + C) & = (A + B) + C . \end{aligned}$
Multiplicação de escalar com matriz:

$a A$

tem como resultado uma matriz na qual cada elemento da matriz $A$ é multiplicado pelo escalar $a$ .

Por exemplo, se

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}],$

então

$2 A = [\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \end{matrix}] .$

Essa operação é distributiva e associativa:

$\begin{aligned} a (A + B) & = a A + a B, \\ (a + b) A & = a A + b A, \\ a (b A) & = (a b) A, \\ a b A & = b a A . \end{aligned}$
Multiplicação de matriz com matriz:

$A B$ ou

$A . B$

é definida apenas quando o número de colunas de $A$ é igual ao número de linhas de $B$ .

Se $A$ é uma matriz $n \times l$ , e $B$ é uma matriz $l \times m$ , então $C = A B$ é uma matriz de tamanho $n \times m$ tal que

$c_{i j} = \sum_{k = 1}^{l} a_{i k} b_{k j} .$ Desse modo, o elemento $c_{i j}$ (elemento da $i$ -ésima linha e $j$ -ésima coluna de $C$ ) será o somatório da multiplicação elemento a elemento da $i$ -ésima linha de $A$ com a $j$ -ésima coluna de $B$ .

Por exemplo, se

$\begin{aligned} A & = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}], \\ B & = [\begin{array}{rr} - 1 & 0 \\ - 3 & 5 \\ 6 & 2 \end{array}], \end{aligned}$

então

$\begin{aligned} C & = A B \\ = [\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}] [\begin{array}{rr} - 1 & 0 \\ - 3 & 5 \\ 6 & 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} (1 \times - 1) + (2 \times - 3) + (3 \times 6) & (1 \times 0) + (2 \times 5) + (3 \times 2) \\ (4 \times - 1) + (5 \times - 3) + (6 \times 6) & (4 \times 0) + (5 \times 5) + (6 \times 2) \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 11 & 16 \\ 17 & 37 \end{array}] . \end{aligned}$

Embora a multiplicação entre matrizes seja associativa,

$A (B C) = (A B) C,$ na maioria das vezes não é comutativa, isto é,

$A B \neq B A .$

Os casos em que $A B = B A$ são casos especiais como, por exemplo, quando $A B = I$ (veja definição de matriz inversa a seguir), ou quando a matriz é multiplicada pela identidade.

Se $a$ e $b$ são representações de vetores

$\begin{aligned} a = [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}], b = [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}], \end{aligned}$

a multiplicação da transposta de $a$ por $b$ tem como resultado o produto escalar entre os vetores:

$\begin{aligned} a^{T} b & = [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}] \\ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} \\ = a \cdot b . \end{aligned}$

Da mesma forma, podemos definir a norma euclidiana de $a$ como

$\begin{aligned} | a | & = \sqrt{a^{T} a} \end{aligned} .$

Matriz inversa

Se, para uma dada matriz quadrada $A$ , existir uma matriz $B$ tal que $A B = B A = I$ , então $B$ é a inversa de $A$ , denotada por $A^{- 1}$ :

$A A^{- 1} = A^{- 1} A = I .$ A inversa da inversa é a matriz original, isto é,

${(A^{- 1})}^{- 1} = A .$

Se uma matriz possui uma inversa, dizemos que a matriz é inversível ou não singular. Caso contrário, dizemos que a matriz é singular.

Uma matriz $A$ é inversível apenas se seu determinante, denotado por $| A |$ ou $det (A),$ for diferente de zero.

O determinante de uma matriz de ordem $n$ pode ser definido recursivamente como uma soma ponderada de $n$ determinantes de submatrizes de ordem $n - 1$ (teorema de Laplace):

$| A | = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + j} a_{i j} M_{i j},$

onde $M_{i j}$ , chamado de determinante menor de $A$ , é o determinante da matriz de ordem $n - 1$ obtida através da remoção da linha $i$ e coluna $j$ de $A$ . Nessa expressão, $(- 1)^{i + j} M_{i j}$ é chamado de cofator do elemento $a_{i j}$ e é denotado por $C_{i j}$ . Para matrizes de ordem 2 e 3, o procedimento é suficientemente simples e é mostrado a seguir:

Para uma matriz de ordem 2,

$A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}],$

$\begin{aligned} | A | & = | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | \\ = a d - b c . \end{aligned}$
Para uma matriz de ordem 3,

$\begin{aligned} A = [\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}], \end{aligned}$ $\begin{aligned} | A | & = | \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} | \\ = a | \begin{matrix} e & f \\ h & i \end{matrix} | - b | \begin{matrix} d & f \\ g & i \end{matrix} | + c | \begin{matrix} d & e \\ g & h \end{matrix} | \\ = a e i + b f g + c d h - c e g - b d i - a f h . \end{aligned}$

A complexidade de tempo para calcular o determinante por este método é $O (n!)$ . Isso só é rápido para matrizes de ordem até 5. Há soluções mais eficientes para matrizes de ordem mais elevada, como o uso de decomposição LU ou eliminação de Gauss, com complexidade $O (n^{3})$ . Entretanto, como usaremos matrizes de ordem até 4, o método anterior é suficiente.

A matriz inversa de uma matriz $A$ inversível pode ser calculada como

$A^{- 1} = \frac{1}{| A |} . adj (A),$

onde $adj (A)$ , chamada de matriz adjunta de $A$ , é a transposta da matriz de cofatores de $A$ . Isto é,

$adj (A) = {[\begin{matrix} C_{i j} \end{matrix}]}^{T} .$

Em computação gráfica, frequentemente podemos evitar o uso de métodos numéricos de inversão de matrizes pois muitas matrizes representam transformações inversíveis através de um raciocínio geométrico. Por exemplo:

Se uma matriz representa uma rotação de $45$ graus em torno do eixo $x$ , então sua inversa é uma matriz que representa uma rotação de $- 45$ graus em torno do eixo $x$ ;
Se uma matriz representa uma translação pelo vetor $(x, y, z)$ , então sua inversa é uma matriz que representa uma translação pelo vetor $(- x, - y, - z)$ .
Se uma matriz representa uma mudança de escala por um fator $s \neq 0$ , então sua inversa é uma matriz de mudança de escala por um fator $1 / s$ .

Abordaremos essas e outras matrizes de transformação na seção 7.4.

Matriz ortogonal

Uma matriz $A$ é ortogonal se

$A A^{T} = A^{T} A = I,$

isto é, sua transposta é também a sua inversa:

$A^{T} = A^{- 1} .$

As linhas e colunas de uma matriz ortogonal formam uma base ortonormal.

Por exemplo, as matrizes

$\begin{aligned} A & = [\begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \end{matrix}], \\ B & = [\begin{matrix} \hat{i} & - \hat{j} & \hat{k} \end{matrix}], \\ C & = [\begin{matrix} \hat{k} & \hat{i} & \hat{j} \end{matrix}], \end{aligned}$

com colunas formadas pelos seguintes vetores da base padrão do $R^{3}$ ,

$\begin{aligned} \hat{i} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], \hat{j} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], \hat{k} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}], \end{aligned}$

são matrizes ortogonais.

o determinante de uma matriz ortogonal é sempre $1$ ou $- 1$ .

Propriedades

As seguintes propriedades se aplicam:

$(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$ .
$(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}$ .
$(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ .

Observe como a ordem dos fatores é trocada. No caso geral,

$(A_{1} A_{2} \dots A_{k})^{T} = A_{k}^{T} \dots A_{2}^{T} A_{1}^{T}$ .
$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ .

No caso geral, para um conjunto ${A_{i}}$ de matrizes inversíveis,

$(A_{1} A_{2} \dots A_{k})^{- 1} = A_{k}^{- 1} \dots A_{2}^{- 1} A_{1}^{- 1}$ .

Transformação

Seja $v$ uma matriz coluna que representa um vetor no $R^{n}$ . A transformação $T (v)$ , que transforma $v$ em uma nova representação $v^{'}$ , pode ser escrita como

$v^{'} = A v,$

onde $A$ é uma matriz quadrada de ordem $n$ chamada de matriz de transformação.

Toda matriz de transformação de ordem $n$ representa uma transformação linear em $R^{n}$ .

Uma transformação linear é um mapeamento entre dois espaços vetoriais de tal modo que as operações de adição de vetor com vetor e multiplicação de vetor com escalar são preservadas, isto é,

$T (a u + b v) = a T (u) + b T (v)$

para quaisquer vetores $u, v \in V$ , e quaisquer escalares $a$ e $b$ . Como resultado, a transformação do vetor representado por $v$ é equivalente à combinação linear da transformação da base do vetor:

$v^{'} = T (v) = v_{1} T (e_{1}) + v_{2} T (e_{2}) + \dots + v_{n} T (e_{n}) .$

Se $v \in R^{3}$ , temos

$v^{'} = T (v) = x T (\hat{i}) + y T (\hat{j}) + z T (\hat{k}) .$

Essa expressão pode ser representada na forma matricial:

$v^{'} = A v [\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} T (\hat{i}) & T (\hat{j}) & T (\hat{k}) \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] .$

Logo, a matriz que transforma

v

, da base

{\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}}

para

v^{'}

, da base

{T (\hat{i)}, T (\hat{j)}, T (\hat{k})}

é uma matriz de mudança de base, e é construída fazendo com que suas colunas sejam os vetores da base transformada.

Transformações lineares e matrizes

O vídeo a seguir, do canal 3Blue1Brown do Youtube, apresenta de forma visual o conceito de transformação linear e sua relação com a operação matricial. O áudio está em inglês, mas há legendas em português.

Este vídeo faz parte de uma excelente série de vídeos sobre fundamentos de álgebra linear. O conteúdo permite compreender de forma intuitiva os principais conceitos vistos até agora. A maioria dos vídeos possui legendas em português.

Além de transformações lineares, matrizes podem representar também outras transformações, tais como:

Transformação afim: para a translação de pontos;
Transformação projetiva: para projeção perspectiva.

Essas transformações podem ser representadas por transformações lineares em um espaço de dimensão adicional. Por exemplo, uma transformação afim no $R^{3}$ pode ser representada por uma matriz de transformação linear no $R^{4}$ . Veremos como fazer isso na seção 7.2.