7.3 Concatenação de transformações

Podemos expressar uma sequência, composição ou concatenação de transformações através de um produto matricial.

Por exemplo, a transformação de um ponto (ou vetor) $p$ por $A$, e em seguida por $B$, e então por $C$, pode ser escrita como:

$$p^{\prime }=C\left(B\right(Ap\left)\right),$$ Como a multiplicação entre matrizes é associativa, podemos remover os parênteses:

$$p^{\prime }=CBAp.$$

Observação

• Lembre-se que, em geral, o produto matricial não é comutativo:

  $$CBA\ne ABC.$$

• Na expressão $p^{\prime }=CBAp$, a ordem de aplicação das transformações é determinada pela leitura da direita para a esquerda:

  • Em 1º lugar, aplica-se a transformação representada pela matriz $A$.
  • Em 2º lugar, aplica-se a transformação representada pela matriz $B$.
  • Por último, a transformação representada pela matriz $C$.

  
  Se quisermos ler a ordem das transformações da esquerda para a direita, precisamos antes calcular a transposta da expressão:

  $$\begin{array}{cc}{p}^{\prime T}& =(CBAp{)}^T\\ & =p^T{A}^T{B}^T{C}^T.\end{array}$$

  Observe que, neste caso, $p^T$ é uma matriz linha multiplicada à esquerda (pré-multiplicação) da matriz de transformação. Como nossa convenção neste curso é usar representações de pontos e vetores como matrizes coluna multiplicadas à direita (pós-multiplicação), usaremos sempre a expressão original $p^{\prime }=CBAp$.

No caso geral, se um ponto ou vetor é representado por uma matriz coluna $p$, então a expressão

$$p^{\prime }=A_k{A}_{k-1}\dots A_{1}p$$

representa a transformação do ponto/vetor por uma sequência de transformações na ordem

$$A_1,A_2,\dots ,A_k.$$

Se for necessário aplicar uma mesma sequência de transformações a diferentes pontos ou vetores, é desejável primeiramente armazenar o resultado da multiplicação das matrizes de transformação em uma única matriz. Por exemplo,

$$M=A_k{A}_{k-1}\dots A_1,$$

onde $M$ representa as transformações na ordem $A_1,A_2,\dots ,A_k$ e pode ser utilizada para transformar quantos pontos/vetores forem necessários:

$$v_1^{\prime }=M{v}_1,v_2^{\prime }=M{v}_2,⋮$$

A malha de triângulos de um modelo geométrico pode ser composta por milhares de vértices, e a transformação de um modelo exige a transformação da posição de todos os seus vértices. Assim, a concatenação de transformações em uma única matriz aumenta a eficiência do processamento geométrico.